Conte possibilidades sem listar uma por uma. O segredo está numa pergunta: a ordem importa? Treine com senhas, pódios, comissões e anagramas.
Quantas senhas um cadeado de 4 dígitos aceita? Quantas apostas diferentes cabem na Mega-Sena? Listar uma por uma levaria anos. A análise combinatória é o conjunto de técnicas para contar sem listar, e quase toda questão dela se resume a uma pergunta: os elementos escolhidos têm ordem ou não?
Essas contagens são o numerador e o denominador de muitas contas de probabilidade: para saber a chance de algo, primeiro é preciso saber quantos resultados existem.
Se uma escolha é feita em etapas e cada escolha da primeira etapa permite sempre o mesmo número de opções na segunda, e assim por diante, multiplica-se o número de opções de cada etapa. As opções disponíveis podem mudar; o que precisa se manter, em cada etapa, é a quantidade delas. Com 3 camisetas e 4 calças há 3 · 4 = 12 combinações de roupa. Uma senha de 4 dígitos, em que cada posição aceita 0 a 9, tem 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 possibilidades. Se os dígitos não podem se repetir, cada posição perde uma opção: 10 · 9 · 8 · 7 = 5.040.
O fatorial de n, escrito n!, é o produto n · (n − 1) · … · 2 · 1. Assim, 4! = 24 e 5! = 120. Por convenção, 0! = 1: é o valor que faz as fórmulas funcionarem quando se escolhem todos os elementos ou nenhum.
Permutar é reordenar todos os elementos. Para formar uma fila com 5 pessoas, há 5 opções para o 1º lugar, 4 para o 2º e assim por diante: 5! = 120 filas. Com letras repetidas, divide-se pelas trocas que não mudam nada, como mostra o passo a passo de ARARA mais abaixo.
Quando se escolhem p elementos distintos, sem repetição, de um total de n (com 0 ≤ p ≤ n), há dois casos. Se trocar a ordem gera um resultado diferente (cargos, posições, senhas), é arranjo: A(n, p) = n! / (n − p)!. Se só importa quem foi escolhido (grupos, comissões, apostas), é combinação: C(n, p) = n! / (p! · (n − p)!). A combinação é o arranjo dividido por p!, porque cada grupo aparece p! vezes no arranjo, uma para cada ordem possível.
O teste da troca
Pegue um resultado possível e troque dois elementos de lugar. Virou outra coisa (outra senha, outro pódio)? Então a ordem importa: arranjo. Continuou sendo a mesma coisa (o mesmo grupo, a mesma aposta)? Combinação.
Princípio fundamental da contagem
Escolhas em etapas independentes
Se uma decisão tem m opções e a seguinte tem n, o total de caminhos é m · n. Vale para quantas etapas houver: é a base de todas as outras fórmulas.
Permutação simples
Reordenar todos os elementos
Quantas filas, ordens ou anagramas dá para formar usando todos os n elementos distintos, uma vez cada. É o fatorial de n.
Permutação com repetição
Quando há elementos iguais
Trocar duas letras iguais de lugar não cria um anagrama novo. Por isso divide-se n! pelo fatorial de quantas vezes cada elemento se repete.
Arranjo simples
Escolher p de n, e a ordem importa
Selecionam-se p elementos de um total de n, e trocar a ordem gera um resultado diferente: cargos, posições, senhas sem repetição.
Combinação simples
Escolher p de n, e a ordem não importa
Só interessa quem foi escolhido, não em que ordem: grupos, comissões, apostas. Cada grupo aparece p! vezes no arranjo, então divide-se por p!.
Leia o problema, aplique o teste da troca e responda. A explicação mostra o raciocínio e a conta.
Problema 1 de 7 · Acertos: 0 de 0
Oito atletas disputam uma final. De quantas formas pode ficar o pódio (ouro, prata e bronze)?
De uma turma de 8 alunos, quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas?
Quantas senhas de 4 dígitos distintos podem ser feitas com os algarismos de 0 a 9?
Uma sorveteria tem 6 sabores. Quantos pares de sabores diferentes dá para escolher, sem considerar a posição das bolas na casquinha?
Dez candidatos concorrem a presidente e vice do grêmio. Quantas chapas são possíveis?
Sete pessoas se encontram e cada uma aperta a mão de todas as outras uma vez. Quantos apertos de mão acontecem?
Na Mega-Sena, o apostador marca 6 dezenas entre 60. Quantas apostas simples diferentes existem?
Aí não é arranjo simples: cada posição mantém todas as opções e basta o princípio fundamental. Placas no padrão Mercosul usado no Brasil (3 letras, 1 algarismo, 1 letra, 2 algarismos) permitem 26 · 26 · 26 · 10 · 26 · 10 · 10 = 26⁴ · 10³ = 456.976.000 combinações. Já as combinações com repetição (escolher 3 bolas de sorvete podendo repetir sabor) têm fórmula própria, CR(n, p) = C(n + p − 1, p), que aparece mais em vestibulares específicos do que no ENEM.
respondidas 0/5
Escolha uma resposta e veja na hora se acertou. É para aprender — sem pressão.
1. Um restaurante oferece 3 entradas, 4 pratos principais e 2 sobremesas. Quantos menus completos (um de cada) são possíveis?
Por quê: São etapas independentes, então multiplica-se: 3 · 4 · 2 = 24. Somar (3 + 4 + 2 = 9) é o erro mais comum.
2. Quantos anagramas tem a palavra BANANA?
Por quê: 6 letras com A repetido 3 vezes e N repetido 2 vezes: 6! / (3! · 2!) = 720 / 12 = 60.
3. Numa sala de 10 alunos, de quantas formas se escolhe um representante e um vice?
Por quê: Os cargos são diferentes, então a ordem importa: A(10, 2) = 10 · 9 = 90. 45 seria a combinação, que ignora os cargos.
4. Quantos grupos de 4 pessoas podem ser formados com 6 amigos?
Por quê: Grupo não tem ordem: C(6, 4) = 6! / (4! · 2!) = 720 / 48 = 15. 360 seria o arranjo A(6, 4).
5. Quantos códigos de 3 letras (de A a Z, 26 letras) existem, se letras podem se repetir?
Por quê: Com repetição, cada posição tem 26 opções: 26 · 26 · 26 = 17.576. 15.600 = 26 · 25 · 24 seria sem repetir letras.
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