Pular para o conteúdo
Aprenda Jogando

Função quadrática: parábola, vértice e máximo

A altura de uma bola e a área de um canteiro podem ser modeladas por funções quadráticas. Leia a parábola e encontre o vértice para resolver problemas de máximo e mínimo.

Funções 10 min de leitura Um de 2 guias de Funções
Ir para o quiz

Compartilhar em

Neste guia

Quando uma grandeza depende do quadrado de outra, o gráfico deixa de ser uma reta e vira uma curva em forma de U: a parábola. É o caminho de uma bola chutada, a área de um terreno quando você muda um dos lados, o lucro de uma loja que sobe o preço demais. Todas essas situações são descritas por uma função quadrática.

A forma geral é f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Se a fosse zero, sobraria uma função afim. As raízes saem da mesma conta da equação do 2º grau (o delta e a fórmula de Bhaskara); o que este guia acrescenta é a leitura do gráfico e, principalmente, o vértice, que responde às perguntas de máximo e mínimo.

Três números, três informações do gráfico

O sinal de a dá a concavidade: a > 0 abre para cima (tem mínimo), a < 0 abre para baixo (tem máximo). O Δ diz quantas vezes a parábola toca o eixo x. E o vértice fica em xv = −b/(2a) e yv = −Δ/(4a).

Lendo a parábola

Concavidade. Para x muito grande (positivo ou negativo), o termo ax² domina a conta. Se a é positivo, os valores crescem dos dois lados e a curva abre para cima, como um sorriso; se a é negativo, abre para baixo. O tamanho de a muda a abertura: quanto maior |a|, mais fechada a parábola.

Corte no eixo y. Com x = 0, sobra f(0) = c. Então a parábola passa sempre por (0, c).

Raízes. Δ > 0 dá dois cortes no eixo x; Δ = 0, um ponto de encosto; Δ < 0, nenhum. Quando há raízes x₁ e x₂, a função pode ser escrita na forma fatorada f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), útil para montar a lei a partir do gráfico.

Vértice e eixo de simetria. A parábola é simétrica em relação à reta vertical x = xv. Por isso, quando há duas raízes, o xv fica exatamente no meio delas. O yv pode ser calculado por −Δ/(4a) ou, muitas vezes mais rápido, substituindo o xv na própria função.

Quatro funções, analisadas por inteiro

Escolha uma função para ver concavidade, delta, raízes, vértice e corte no eixo y.

f(x) = x² − 4x + 3

Abre para cima, duas raízes

Coeficientes
a = 1, b = −4, c = 3
Concavidade
Para cima (a > 0)
Delta
Δ = 16 − 12 = 4
Raízes
x = 1 e x = 3
Vértice
(2, −1)
Corta o eixo y em
(0, 3)

Valor mínimo −1, atingido em x = 2. Repare que o xv é a média das raízes: (1 + 3) ÷ 2 = 2. A imagem é y ≥ −1.

f(x) = −x² + 4x − 4

Abre para baixo, raiz dupla

Coeficientes
a = −1, b = 4, c = −4
Concavidade
Para baixo (a < 0)
Delta
Δ = 16 − 16 = 0
Raízes
x = 2 (raiz dupla)
Vértice
(2, 0)
Corta o eixo y em
(0, −4)

Valor máximo 0, em x = 2. Com Δ = 0 o vértice fica exatamente sobre o eixo x: a parábola encosta nele num ponto e volta a descer. A imagem é y ≤ 0.

f(x) = 2x² − 4x + 5

Abre para cima, sem raízes reais

Coeficientes
a = 2, b = −4, c = 5
Concavidade
Para cima (a > 0)
Delta
Δ = 16 − 40 = −24
Raízes
Nenhuma raiz real
Vértice
(1, 3)
Corta o eixo y em
(0, 5)

Valor mínimo 3, em x = 1: yv = −(−24) ÷ (4 · 2) = 24 ÷ 8 = 3. Como o ponto mais baixo já está acima do eixo x, a função é positiva para todo x.

f(x) = −x² + 2x + 8

Abre para baixo, duas raízes

Coeficientes
a = −1, b = 2, c = 8
Concavidade
Para baixo (a < 0)
Delta
Δ = 4 + 32 = 36
Raízes
x = −2 e x = 4
Vértice
(1, 9)
Corta o eixo y em
(0, 8)

Valor máximo 9, em x = 1. Raízes: x = (−2 ± 6) ÷ (−2), que dá −2 e 4. A função é positiva entre as raízes e negativa fora delas.

Máximo e mínimo em problemas

Esta é a parte que mais aparece em prova. O roteiro é sempre o mesmo: escrever a grandeza como função quadrática, olhar o sinal de a para saber se existe máximo ou mínimo e calcular o vértice. Resolva os dois problemas abaixo uma etapa por vez — tente prever a próxima antes de tocar no botão.

Problema resolvido · Área máxima

Com 40 m de tela, quer-se cercar um canteiro retangular encostado num muro, que dispensa tela em um dos lados. Qual é a maior área possível?

  1. 1 Chame de x cada um dos dois lados perpendiculares ao muro. O lado paralelo ao muro fica com o que sobra da tela: 40 − 2x.
  2. 2 Área = base × altura: A(x) = x(40 − 2x) = −2x² + 40x. Como a = −2 é negativo, a parábola abre para baixo e tem ponto de máximo.
  3. 3 O máximo está no vértice: xv = −b ÷ (2a) = −40 ÷ (2 · (−2)) = −40 ÷ (−4) = 10 m.
  4. 4 O lado paralelo mede 40 − 2 · 10 = 20 m. Área máxima: 10 · 20 = 200 m². Pelo delta dá o mesmo: Δ = 1600, e −Δ ÷ 4a = −1600 ÷ (−8) = 200.
  5. 5 Confira pela simetria: com x = 9, a área é 9 · 22 = 198 m²; com x = 11, 11 · 18 = 198 m². Os dois lados do vértice dão valores iguais e menores.

Problema resolvido · Lançamento

Uma bola é chutada para cima e sua altura, em metros, é h(t) = −5t² + 20t, com t em segundos. Qual a altura máxima e quando ela volta ao chão?

  1. 1 Leia os coeficientes: a = −5, b = 20, c = 0. O c = 0 diz que no instante zero a altura é zero: a bola sai do chão.
  2. 2 Instante da altura máxima: tv = −b ÷ (2a) = −20 ÷ (−10) = 2 segundos.
  3. 3 Altura máxima: h(2) = −5 · 2² + 20 · 2 = −20 + 40 = 20 metros.
  4. 4 Volta ao chão quando h(t) = 0: −5t² + 20t = 0 → −5t(t − 4) = 0 → t = 0 (a saída) ou t = 4 segundos.
  5. 5 Repare na simetria: a bola sobe por 2 s e desce por 2 s. O instante do vértice é a média das raízes, (0 + 4) ÷ 2 = 2.

Uma consequência do primeiro problema vale guardar: sem o muro, com todos os quatro lados de tela, o retângulo de área máxima com perímetro fixo é sempre o quadrado. Com 40 m de cerca, A(x) = x(20 − x) = −x² + 20x, o vértice dá x = 10 e a área máxima é 10 · 10 = 100 m².

Erros comuns e como cai na prova

  • Perder o sinal do b no vértice. Em x² − 4x + 3, b = −4 e xv = −(−4) ÷ 2 = +2. Quem escreve “−4 ÷ 2” acha −2 e erra o vértice inteiro.
  • Responder o xv quando a pergunta pede o yv. “Em que instante a altura é máxima?” pede xv. “Qual a altura máxima?” pede yv. As duas perguntas costumam aparecer juntas, e a alternativa errada sempre traz o outro número.
  • Julgar a concavidade pelo c ou pelo b. Só o sinal de a decide. Em f(x) = −3 + x², a = +1: abre para cima, mesmo com o sinal negativo na frente.
  • Achar que Δ < 0 “não tem resposta”. A função existe e tem vértice, valor mínimo ou máximo e imagem. O que não existe é raiz real.

No ENEM, a função quadrática costuma vir disfarçada de lucro (receita menos custo), de trajetória (altura de um objeto lançado) ou de área. Outro formato frequente dá o gráfico e pede os sinais: a abertura revela o sinal de a, o ponto em que a curva corta o eixo y revela o sinal de c, e o número de cortes no eixo x revela o sinal de Δ.

Por que o vértice fica em −b/2a?

Se a parábola tem raízes x₁ e x₂, a fórmula de Bhaskara diz que elas são (−b + √Δ) ÷ 2a e (−b − √Δ) ÷ 2a. Como o vértice está no eixo de simetria, ele fica no meio das duas: somando e dividindo por 2, os termos com √Δ se cancelam e sobra −b/(2a). Substituindo esse valor em ax² + bx + c e simplificando, chega-se a −Δ/(4a). Mesmo quando não há raízes reais a fórmula continua valendo, porque o eixo de simetria não depende delas.

Teste o que você aprendeu

respondidas 0/5

Escolha uma resposta e veja na hora se acertou. É para aprender — sem pressão.

  1. 1. Qual é o valor máximo de f(x) = −2x² + 8x − 1?

    Por quê: xv = −8 ÷ (2 · (−2)) = 2 e f(2) = −8 + 16 − 1 = 7. O 2 é onde o máximo acontece (o xv); o valor máximo é o yv, 7.

  2. 2. O gráfico de uma função quadrática abre para baixo e não toca o eixo x. O que se pode afirmar?

    Por quê: Abrir para baixo exige a negativo. Não tocar o eixo x significa não ter raiz real, ou seja, Δ negativo. A parábola fica inteira abaixo do eixo.

  3. 3. Em que valores de x o gráfico de f(x) = x² − 2x − 8 corta o eixo x?

    Por quê: Δ = 4 + 32 = 36, então x = (2 ± 6) ÷ 2, que dá 4 e −2. Confira: (−2) + 4 = 2 = −b/a e (−2) · 4 = −8 = c/a.

  4. 4. A altura de um projétil é h(t) = −5t² + 30t (metros e segundos). Em que instante ele atinge a altura máxima?

    Por quê: tv = −30 ÷ (2 · (−5)) = 3 s. Os 45 são a altura máxima em metros, e 6 s é quando ele volta ao chão — o dobro do tempo de subida.

  5. 5. Com 24 m de tela, cerca-se um canteiro retangular encostado num muro (três lados com tela). Qual a maior área possível?

    Por quê: A(x) = x(24 − 2x) = −2x² + 24x. O vértice está em x = 6, e o lado do muro fica com 24 − 12 = 12 m. Área: 6 · 12 = 72 m².

Você acertou de !

Desafie alguém a bater o seu placar:

Crie sua conta para ganhar Aura ao concluir este guia.

Próximo passo

Truco

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre função quadrática e equação do 2º grau?
A equação ax² + bx + c = 0 pergunta quais valores de x zeram a expressão. A função associa a cada x um valor de y e tem um gráfico inteiro; as raízes da equação são só os pontos em que esse gráfico toca o eixo x.
Como calcular o vértice da parábola?
Use xv = −b/(2a) e yv = −Δ/(4a). Na prática, é comum calcular o xv e substituir na função para achar o yv. Em x² − 4x + 3, xv = 2 e f(2) = −1.
Como saber se a parábola tem ponto de máximo ou de mínimo?
Pelo sinal do coeficiente de x². Positivo: concavidade para cima e o vértice é o ponto mais baixo. Negativo: concavidade para baixo e o vértice é o ponto mais alto.
O que significa uma função quadrática com delta negativo?
Que o gráfico não toca o eixo x: a função não tem raízes reais. Ela continua existindo e tem vértice; se a for positivo, todos os seus valores são positivos.

Pratique jogando

Fixe funções brincando

Outros guias de Funções

← Anterior na lista Função afim 9 min de leitura