Bandeirada mais preço por quilômetro: a função afim descreve tudo que tem um valor fixo e uma taxa constante. Mexa nos coeficientes e veja a reta mudar.
A conta do táxi, a do plano de celular e a da caixa-d’água que esvazia têm a mesma estrutura: um valor fixo mais um valor que cresce (ou cai) sempre no mesmo ritmo. Toda situação assim é descrita por uma função afim, e o gráfico dela é sempre uma reta.
Na forma geral, f(x) = ax + b, com a e b números reais. Quando a ≠ 0, ela também é chamada de função polinomial do 1º grau; com a = 0 sobra f(x) = b, a função constante, que muitos livros tratam como caso particular. Para ler o gráfico, vale ter o plano cartesiano fresco na memória.
O que cada coeficiente faz
a é o coeficiente angular: quanto y muda quando x aumenta 1. Ele define a inclinação — positivo, a reta sobe; negativo, desce; zero, fica deitada. b é o coeficiente linear: o valor de y quando x = 0, ou seja, o ponto (0, b) onde a reta corta o eixo y.
Mude a e b e veja a tabela de valores, os pontos no plano e o comportamento da função se atualizarem. Repare que, de uma linha da tabela para a seguinte, y sempre muda exatamente a.
f(x) = 2x + 1
| x | f(x) |
|---|---|
| −2 | −3 |
| −1 | −1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
Escala vertical menor que a horizontal (y vai de −9 a 9).
Crescente: a = 2 é positivo, então y sobe 2 a cada passo de x.
Zero da função: x = −1/2 (onde a reta corta o eixo x).
Só o sinal de a decide. Em f(x) = 3x − 2, cada passo de x soma 3 a y: a função é crescente e a reta sobe da esquerda para a direita. Em f(x) = −x + 4, cada passo tira 1: é decrescente. O valor de b não muda isso — ele só desloca a reta para cima ou para baixo, sem alterar a inclinação. Por isso retas com o mesmo a e valores de b diferentes são paralelas (com o mesmo b, seriam a mesma reta).
Quando b = 0, a função fica f(x) = ax, a reta passa pela origem e y é diretamente proporcional a x: dobrar x dobra y. Esse caso especial é a função linear, a mesma ideia de razão e proporção. Com b ≠ 0 a proporcionalidade se perde: uma corrida de 20 km de táxi não custa o dobro de uma de 10 km, porque a bandeirada não dobra.
Olhe a lei, decida pelo sinal de a e veja a explicação. Atenção às armadilhas de escrita.
Função 1 de 6 · acertos: 0 de 0
f(x) = 5 − 3x
O zero (ou raiz) é o valor de x que faz f(x) = 0. Achar o zero é resolver a equação do 1º grau ax + b = 0, cuja solução, quando a ≠ 0, é x = −b/a. No gráfico, é o ponto (−b/a, 0), onde a reta cruza o eixo x.
Com a = 0, a função constante não tem zero se b ≠ 0; se b = 0, todo número real é zero da função. Como o gráfico é uma reta, dois pontos distintos bastam para desenhá-lo. Os mais práticos costumam ser justamente os cortes nos eixos. Em f(x) = 2x − 6: com x = 0, y = −6, o que dá o ponto (0, −6); com y = 0, 2x = 6 e x = 3, o que dá (3, 0). Ligue os dois e a reta está pronta.
O zero também separa os sinais da função. Em f(x) = 2x − 6, que é crescente, os valores são negativos para x < 3 e positivos para x > 3. Essa leitura é a base da inequação do 1º grau.
Toque em cada situação para ver como montar a lei e responder à pergunta.
f(x) = 2,5x + 5
Bandeirada + preço por km
Um táxi cobra R$ 5,00 de bandeirada e R$ 2,50 por quilômetro rodado. O valor fixo é o b e o preço por km é o a: f(x) = 2,5x + 5, com x em km.
Uma corrida de 12 km custa f(12) = 2,5 · 12 + 5 = 30 + 5 = R$ 35,00.
Com R$ 50,00, quanto dá para rodar? 2,5x + 5 = 50 → 2,5x = 45 → x = 18 km.
A reta passa por (1, 5) e (3, 9)
Achar a lei da função
O coeficiente angular é a variação de y dividida pela variação de x: a = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2.
Para achar o b, use um dos pontos: 5 = 2 · 1 + b → b = 3. A lei é f(x) = 2x + 3.
Confira com o outro ponto: f(3) = 2 · 3 + 3 = 9. Bateu.
V(t) = 1000 − 40t
Uma função decrescente
Uma caixa com 1.000 litros perde 40 litros por minuto. O volume depois de t minutos é V(t) = −40t + 1000, para 0 ≤ t ≤ 25: a = −40 (negativo, porque o volume cai) e b = 1000 (o volume no instante zero).
A caixa esvazia quando V(t) = 0: 1000 − 40t = 0 → t = 25 minutos. Esse é o zero da função.
Plano A: 30 + 0,5x · Plano B: 0,8x
Quando duas retas se cruzam
Um plano de celular cobra R$ 30 fixos mais R$ 0,50 por minuto; outro cobra só R$ 0,80 por minuto. Os dois custam o mesmo quando 30 + 0,5x = 0,8x → 30 = 0,3x → x = 100 minutos.
Abaixo de 100 minutos o plano B sai mais barato; acima disso, o A. No gráfico, 100 é o x do ponto onde as duas retas se cruzam.
No ENEM e nos vestibulares, a função afim quase nunca aparece como “calcule f(3)”. Ela vem num gráfico de tarifa para você descobrir a lei a partir de dois pontos, numa comparação de planos (qual compensa a partir de quantas unidades?) ou numa tabela em que é preciso perceber que a diferença entre linhas consecutivas é constante. Nos três casos, o caminho é o mesmo: identifique o fixo, identifique a taxa, escreva a lei.
Porque a taxa de variação é constante. Entre quaisquer dois pontos do gráfico, a razão (variação de y) ÷ (variação de x) dá sempre o mesmo número, a. Uma curva mudaria de inclinação no caminho; uma reta, não. É por isso que, conhecendo dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂), dá para calcular a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) e depois achar b substituindo um dos pontos. Quando a variação deixa de ser constante e passa a depender de x², o gráfico vira uma parábola — assunto da função quadrática.
respondidas 0/5
Escolha uma resposta e veja na hora se acertou. É para aprender — sem pressão.
1. Qual é o zero da função f(x) = −3x + 6?
Por quê: O zero é o x que faz f(x) = 0: −3x + 6 = 0 → −3x = −6 → x = 2. É onde a reta corta o eixo x.
2. Um táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada e R$ 3,00 por km. Quanto custa uma corrida de 10 km?
Por quê: A lei é f(x) = 3x + 4,5. Para x = 10: 3 · 10 + 4,5 = 30 + 4,50 = R$ 34,50. A bandeirada entra uma vez só, não por km.
3. Uma reta passa pelos pontos (0, 4) e (2, 0). Qual é a lei da função afim?
Por quê: O ponto (0, 4) dá b = 4. O coeficiente angular é (0 − 4) ÷ (2 − 0) = −2. Logo f(x) = −2x + 4; confira: f(2) = −4 + 4 = 0.
4. Qual destas funções é decrescente?
Por quê: Em 5 − 2x o coeficiente que multiplica o x é −2, negativo: cada aumento de x faz y cair. f(x) = 3 é constante, nem cresce nem decresce.
5. Em f(x) = 4x + 1, o que acontece com f(x) quando x aumenta 3 unidades?
Por quê: O coeficiente angular 4 é a taxa de variação: cada unidade a mais em x soma 4 a y. Três unidades somam 3 · 4 = 12, seja qual for o x de partida.
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