Juros sobre juros fazem um investimento crescer cada vez mais rápido, e uma dívida também. Veja a fórmula, simule valores e compare com os juros simples.
Deixe R$ 1.000 rendendo 10% ao ano por 5 anos e você não terá R$ 1.500, e sim R$ 1.610,51. Os R$ 110,51 a mais vêm de um único detalhe: a cada ano, os juros passam a render juros também. Esse é o regime de juros compostos, usado em praticamente todo investimento, financiamento e dívida de cartão.
Aqui partimos do que você já viu em juros simples (capital, taxa, tempo e montante) e mostramos o que muda quando o saldo é recalculado a cada período. A taxa é uma porcentagem, e multiplicar por 1,10 é o mesmo que aumentar 10%.
Aumentar um valor a uma taxa i, escrita na forma decimal, é multiplicá-lo por (1 + i). Assim, 10% corresponde a i = 0,10 e ao fator 1,10. Nos juros compostos esse aumento se repete a cada período sobre o saldo do período anterior. Depois de t períodos, o capital C foi multiplicado t vezes pelo mesmo fator:
M = C · (1 + i)t e J = M − C
O fator (1 + i)t é chamado de fator de acumulação. Repare que a sequência dos montantes, ano a ano, é uma progressão geométrica de razão 1 + i, enquanto a dos juros simples é uma progressão aritmética.
Capital de R$ 1.000 a 10% ao ano:
| Ano | Juros simples | Juros compostos | Diferença |
|---|---|---|---|
| 0 | R$ 1.000,00 | R$ 1.000,00 | R$ 0,00 |
| 1 | R$ 1.100,00 | R$ 1.100,00 | R$ 0,00 |
| 2 | R$ 1.200,00 | R$ 1.210,00 | R$ 10,00 |
| 3 | R$ 1.300,00 | R$ 1.331,00 | R$ 31,00 |
| 4 | R$ 1.400,00 | R$ 1.464,10 | R$ 64,10 |
| 5 | R$ 1.500,00 | R$ 1.610,51 | R$ 110,51 |
No ano 1 os dois regimes empatam. A partir do ano 2, o composto cobra juros também sobre os juros acumulados, e a distância cresce a cada linha: R$ 10, depois R$ 31, R$ 64,10 e R$ 110,51.
Taxa e tempo na mesma unidade
Taxa ao mês pede tempo em meses; taxa ao ano, tempo em anos. E no regime composto não se converte multiplicando: 1% ao mês equivale a 1,01¹² − 1 ≈ 12,68% ao ano, não a 12%.
Escolha capital, taxa anual e prazo. A tabela mostra o saldo de cada regime ano a ano.
Capital
Taxa ao ano
Prazo
Juros simples
R$ 1.500,00
Juros compostos
R$ 1.610,51
A mais no composto
R$ 110,51
| Ano | Simples | Composto |
|---|---|---|
| 0 | R$ 1.000,00 | R$ 1.000,00 |
| 1 | R$ 1.100,00 | R$ 1.100,00 |
| 2 | R$ 1.200,00 | R$ 1.210,00 |
| 3 | R$ 1.300,00 | R$ 1.331,00 |
| 4 | R$ 1.400,00 | R$ 1.464,10 |
| 5 | R$ 1.500,00 | R$ 1.610,51 |
Experimente 15% por 20 anos: o composto termina com mais de 4 vezes o que o simples entrega.
Quanto rendem R$ 2.500 aplicados a 2% ao mês durante 3 meses?
A poupança, quando a taxa Selic está acima de 8,5% ao ano, rende 0,5% ao mês mais a TR. Ignorando a TR, R$ 1.000 por 12 meses viram 1.000 · 1,005¹² ≈ R$ 1.061,68, um pouco mais que os R$ 1.060 que 6% simples dariam. Em prazos longos essa diferença vira o principal motor do patrimônio: o resultado depende do capital, da taxa, do prazo e dos aportes. Os exemplos deste guia supõem taxa constante, sem impostos, tarifas ou novos depósitos.
Como exemplo matemático, uma dívida hipotética de R$ 1.000, a uma taxa constante de 12% ao mês, sem pagamentos nem outros encargos, chega a 1.000 · 1,12⁶ ≈ R$ 1.973,82 em 6 meses. No cartão, o rotativo dura no máximo até o vencimento da fatura seguinte; depois, o saldo precisa ser quitado ou financiado em outra modalidade. Nas operações abrangidas pela regra vigente desde 3 de janeiro de 2024, os juros e encargos financeiros do rotativo e do parcelamento da fatura, somados, não podem superar 100% do valor original da dívida. Portanto, a conta hipotética não descreve seis meses seguidos no rotativo. Ao comparar alternativas de crédito, considere o custo efetivo total (CET), o prazo e o valor total a pagar. Mais sobre orçamento e dívidas em educação financeira.
Descobrir o t em que M = 2C exige logaritmo. Para estimar de cabeça, divida 72 pela taxa (em %): a 6% ao ano, o dinheiro dobra em cerca de 72 ÷ 6 = 12 anos (o valor exato é 11,9). A aproximação é boa para taxas entre uns 2% e 15% por período.
Taxa por período
Regra dos 72
72 ÷ 6 = 12 períodos
Valor exato
11,9 períodos
Para achar a taxa, isola-se o fator: se R$ 1.000 viraram R$ 1.210 em 2 anos, então (1 + i)² = 1,21, 1 + i = 1,1 e i = 10% ao ano. Para achar o tempo, usa-se logaritmo: t = log(M/C) / log(1 + i). Com R$ 1.000 virando R$ 2.000 a 10% ao ano, t = log 2 / log 1,1 ≈ 0,301 / 0,0414 ≈ 7,3 anos, bem perto dos 7,2 da regra dos 72.
respondidas 0/5
Escolha uma resposta e veja na hora se acertou. É para aprender — sem pressão.
1. R$ 2.000 são aplicados a juros compostos de 10% ao ano. Qual é o montante depois de 2 anos?
Por quê: M = 2.000 · (1,1)² = 2.000 · 1,21 = R$ 2.420,00. R$ 2.400 seria o resultado com juros simples.
2. Uma aplicação rende 2% ao mês a juros compostos e fica aplicada por 1 ano. Como montar a conta?
Por quê: A taxa é mensal, então o tempo deve ir em meses: t = 12. Trocar 2% ao mês por 24% ao ano só funciona nos juros simples; no composto a taxa anual equivalente é 1,02¹² − 1 ≈ 26,8%.
3. Pela regra dos 72, em quanto tempo um investimento a 8% ao ano dobra de valor?
Por quê: 72 ÷ 8 = 9 anos. A conta exata (1,08⁹ ≈ 1,999) confirma que a aproximação é muito boa nessa faixa de taxa.
4. Com o mesmo capital e a mesma taxa, o que acontece ao final do primeiro período?
Por quê: No 1º período os juros incidem sobre o mesmo valor (o capital) nos dois regimes. A diferença só aparece do 2º período em diante, quando o composto passa a cobrar juros sobre juros.
5. Uma dívida de R$ 400 cresce 5% ao mês, a juros compostos, sem nenhum pagamento. Quanto ela vale após 3 meses?
Por quê: M = 400 · 1,05³ = 400 · 1,157625 = R$ 463,05. R$ 460 seria o cálculo simples (400 + 3 · 20).
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