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PA e PG: progressão aritmética e geométrica

Na PA soma-se a razão; na PG, multiplica-se. Aprenda a achar qualquer termo, somar dezenas de termos de uma vez e reconhecer cada tipo.

Matemática 10 min de leitura Um de 21 guias de Matemática
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Neste guia

Um salário que sobe R$ 200 por ano e uma dívida que cresce 10% ao mês parecem histórias parecidas, mas crescem de maneiras diferentes. O primeiro caso é uma progressão aritmética (PA): soma-se sempre o mesmo valor. O segundo é uma progressão geométrica (PG): multiplica-se sempre pelo mesmo fator. Saber qual é qual decide a fórmula, e é exatamente isso que o ENEM e os vestibulares cobram.

Se você ainda está se acostumando a achar a regra de uma lista de números, comece por padrões e sequências. Aqui o foco é transformar essa regra em fórmula: achar qualquer termo sem escrever todos e somar dezenas de termos de uma vez.

Progressão aritmética: a razão é somada

Numa PA, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Essa diferença constante é a razão r: r = a2 − a1 = a3 − a2 = … Se r > 0 a PA é crescente; se r < 0, decrescente; se r = 0, constante.

Para chegar ao termo de posição n, partimos de a1 e damos n − 1 saltos de tamanho r. Daí o termo geral: an = a1 + (n − 1) · r.

A soma e a história de Gauss

Conta-se que o matemático Carl Friedrich Gauss, ainda menino, recebeu a tarefa de somar 1 + 2 + … + 100. Em vez de somar um por um, ele percebeu que o primeiro e o último dão 101, o segundo e o penúltimo (2 + 99) também, e assim por diante: são 50 pares de 101, ou seja, 5.050. A ideia vale para qualquer PA, porque termos equidistantes dos extremos sempre têm a mesma soma: Sn = (a1 + an) · n / 2.

As quatro fórmulas

PA: an = a1 + (n − 1) · r  ·  Sn = (a1 + an) · n / 2
PG: an = a1 · qn − 1  ·  Sn = a1 · (qn − 1) / (q − 1), com q ≠ 1
Soma infinita da PG, só quando −1 < q < 1: S = a1 / (1 − q).

Progressão geométrica: a razão multiplica

Numa PG, cada termo é o anterior multiplicado por uma constante, a razão q. Quando o termo anterior é diferente de zero, podemos calcular q = a2 ÷ a1 = a3 ÷ a2 = … Com q > 1 (e a1 positivo) a PG cresce cada vez mais rápido; com 0 < q < 1 ela encolhe, se aproximando de zero; com q negativo os sinais alternam.

Agora cada salto é uma multiplicação. Depois de n − 1 saltos: an = a1 · qn − 1. Para somar os n primeiros termos, com q ≠ 1, usa-se Sn = a1 · (qn − 1) / (q − 1).

Quando uma soma infinita dá um número finito

Se |q| < 1, os termos ficam tão pequenos que a soma de infinitos deles se aproxima de um valor fixo: S = a1 / (1 − q). Exemplo clássico: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 / (1 − 1/2) = 2. É também assim que se prova que 0,333… = 3/10 + 3/100 + … = (3/10) / (1 − 1/10) = 1/3. Para a1 ≠ 0, se |q| ≥ 1, a soma infinita não converge e a fórmula não pode ser usada. A sequência formada só por zeros tem soma zero.

Gere uma progressão

Escolha o tipo, o primeiro termo e a razão. O quadro mostra os seis primeiros termos e a soma deles, com a fórmula aplicada.

Tipo

Primeiro termo (a1)

Razão da PA (r)

Razão da PG (q)

  1. a1 2
  2. a2 5
  3. a3 8
  4. a4 11
  5. a5 14
  6. a6 17

a6 = a1 + 5 · r = 2 + 5 · (3) = 17
S6 = (a1 + a6) · 6 / 2 = (2 + 17) · 3 = 57

a6 = a1 · q⁵ = · ()⁵ =
S6 = a1 · (q⁶ − 1) / (q − 1) =

Exemplos resolvidos

1. Termo e soma de uma PA

Na PA 3, 7, 11, 15, …, qual é o 20º termo e quanto vale a soma dos 20 primeiros termos?

  1. Razão: r = 7 − 3 = 4.
  2. Termo geral: a20 = a1 + 19 · r = 3 + 19 · 4 = 3 + 76 = 79.
  3. Soma: S20 = (a1 + a20) · 20 / 2 = (3 + 79) · 10 = 820.

2. Termo e soma de uma PG

Uma notícia é repassada por 2 pessoas no primeiro dia, e o número de novos repasses triplica a cada dia: 2, 6, 18, … Quantos repasses acontecem no 6º dia e quantos no total até lá?

  1. Razão: q = 6 ÷ 2 = 3.
  2. a6 = a1 · q⁵ = 2 · 243 = 486 repasses no 6º dia.
  3. S6 = 2 · (3⁶ − 1) / (3 − 1) = 2 · 728 / 2 = 728. Conferindo: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728.

3. Descobrir a razão a partir de dois termos

Numa PA, a3 = 10 e a8 = 25. Qual é a razão?

  1. Do 3º ao 8º termo há 8 − 3 = 5 saltos: a8 = a3 + 5r.
  2. 25 = 10 + 5r, então 5r = 15 e r = 3 (e a1 = 10 − 2 · 3 = 4).

PA, PG ou nenhuma?

Teste o critério: subtraia termos vizinhos (PA) e divida termos vizinhos (PG). Toque na sua resposta para ver o porquê.

Acertos: 0 de 0

7, 12, 17, 22, …

As diferenças são todas iguais: 12 − 7 = 17 − 12 = 22 − 17 = 5. É uma PA de razão r = 5.

3, 6, 12, 24, …

As diferenças mudam (3, 6, 12), então não é PA. Mas os quocientes são constantes: 6 ÷ 3 = 12 ÷ 6 = 24 ÷ 12 = 2. É uma PG de razão q = 2. Crescer sempre não basta para ser PA.

1, 4, 9, 16, …

Diferenças: 3, 5, 7 (não são iguais). Quocientes: 4, 2,25, 1,78 (também não). São os quadrados perfeitos, n²: uma sequência com regra clara, mas nem PA nem PG.

80, 40, 20, 10, …

Cada termo é a metade do anterior: 40 ÷ 80 = 0,5. É uma PG decrescente de razão q = 1/2. As diferenças (−40, −20, −10) não são constantes, então não é PA.

10, 7, 4, 1, …

Diferença constante de −3: 7 − 10 = 4 − 7 = 1 − 4 = −3. PA decrescente de razão r = −3. Razão negativa numa PA significa que a sequência diminui.

2, −6, 18, −54, …

O sinal alterna e o valor absoluto triplica: −6 ÷ 2 = 18 ÷ (−6) = −3. É uma PG de razão q = −3, chamada de PG oscilante.

1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Cada termo é a soma dos dois anteriores (sequência de Fibonacci). Diferenças 0, 1, 1, 2, 3 e quocientes 1; 2; 1,5; 1,67 não são constantes.

Erros comuns e como cai na prova

  • Usar n em vez de n − 1. Do 1º ao 10º termo há 9 saltos, não 10. Se a1 = 5 e r = 3, a10 = 32, não 35.
  • Achar que “cresce” significa PA. 3, 6, 12, 24 cresce, mas multiplicando. Sempre teste diferença e quociente.
  • Somar a PG infinita com |q| ≥ 1. A fórmula a1 / (1 − q) só vale com −1 < q < 1. Com q = 2, ela daria um número negativo para uma soma de positivos, sinal claro de erro.
  • Esquecer a PA “escondida”. Questões de prova descrevem a progressão em texto: “uma pessoa caminha 2 km no primeiro dia e 500 m a mais a cada dia”, “um tanque perde, a cada hora, 1/10 do volume que contém naquele momento”. Traduza para a1 e r (ou q) antes de calcular.
  • Sequência constante. 5, 5, 5, … é ao mesmo tempo PA de razão 0 e PG de razão 1 — use a fórmula da PA para somar, pois a da PG divide por q − 1 = 0.
Por que uma PG crescente sempre acaba ultrapassando a PA?

Compare a PA 100, 200, 300, … (soma 100 por passo) com a PG 1, 2, 4, 8, … (dobra a cada passo). No começo a PA ganha com folga, mas no 11º termo a PG vale 1.024 e a PA, 1.100; no 12º, a PG já chega a 2.048 contra 1.200 da PA. Crescimento por multiplicação (exponencial) sempre supera, mais cedo ou mais tarde, o crescimento por soma (linear). É por isso que juros compostos, epidemias e populações de bactérias assustam: veja o mesmo fenômeno em juros compostos.

Teste o que você aprendeu

respondidas 0/5

Escolha uma resposta e veja na hora se acertou. É para aprender — sem pressão.

  1. 1. Numa PA, o primeiro termo é 5 e a razão é 3. Qual é o 10º termo?

    Por quê: a10 = a1 + 9r = 5 + 9 · 3 = 32. O erro comum é usar 10r, mas do 1º ao 10º termo há só 9 saltos.

  2. 2. Quanto vale a soma 2 + 4 + 6 + … + 100 (os 50 primeiros pares positivos)?

    Por quê: É uma PA com a1 = 2, an = 100 e n = 50. S = (2 + 100) · 50 / 2 = 102 · 25 = 2.550.

  3. 3. Na PG 4, 12, 36, …, qual é o 6º termo?

    Por quê: q = 3 e a6 = a1 · q⁵ = 4 · 243 = 972. Usar q⁶ daria 2.916, um termo além do pedido.

  4. 4. Quanto vale a soma infinita 9 + 3 + 1 + 1/3 + …?

    Por quê: É uma PG com a1 = 9 e q = 1/3, e |q| < 1, então a soma converge: S = 9 / (1 − 1/3) = 9 / (2/3) = 13,5.

  5. 5. Qual destas sequências é uma PA?

    Por quê: 10, 7, 4, 1 tem diferença constante −3. As outras: quadrados, PG de razão 2 e Fibonacci.

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Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre PA e PG?
Na PA a diferença entre termos vizinhos é constante (soma-se a razão r). Na PG o quociente é constante (multiplica-se pela razão q). Para testar, subtraia e divida termos consecutivos.
Como calcular a soma dos termos de uma PA?
Use Sn = (a1 + an) · n / 2. Exemplo: 1 + 2 + … + 100 = (1 + 100) · 100 / 2 = 5.050, o raciocínio da conhecida história atribuída a Gauss.
Quando a soma infinita de uma PG existe?
Para primeiro termo diferente de zero, a soma converge só quando |q| < 1. Nesse caso S = a1 / (1 − q); por exemplo, 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2. A sequência formada só por zeros tem soma zero.
Uma sequência constante é PA ou PG?
As duas: 5, 5, 5, … é PA de razão 0 e PG de razão 1. Para somar, use a fórmula da PA, porque a da PG divide por q − 1, que seria zero.

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