Com um ângulo e um lado, dá para descobrir a altura de um prédio sem subir nele. Veja como seno, cosseno e tangente ligam ângulos e lados.
Medir a altura de um prédio com uma trena é complicado; medir a sombra dele no chão e o ângulo do sol, não. A trigonometria no triângulo retângulo é a ferramenta que transforma um ângulo e um lado conhecidos no lado que você não consegue alcançar. Ela se apoia em três razões: seno, cosseno e tangente.
Tudo aqui vale só para o triângulo que tem um ângulo de 90°, o mesmo do teorema de Pitágoras. A diferença é que Pitágoras liga três lados; a trigonometria liga lados e ângulos.
A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto — o maior dos três. Os catetos, porém, só ganham nome depois que você escolhe um dos ângulos agudos como referência. O cateto oposto fica de frente para esse ângulo, sem tocá-lo; o cateto adjacente encosta nele (é um dos lados que formam o ângulo). Se você trocar de ângulo, os dois catetos trocam de nome.
As três razões
sen α = cateto oposto ÷ hipotenusa · cos α = cateto adjacente ÷ hipotenusa · tg α = cateto oposto ÷ cateto adjacente. Como em português as iniciais coincidem com as do inglês, serve o famoso SOH-CAH-TOA: Seno = Oposto ÷ Hipotenusa; Cosseno = Adjacente ÷ Hipotenusa; Tangente = Oposto ÷ Adjacente. Na sala de aula brasileira também se ouve “CO sobre H, CA sobre H, CO sobre CA”.
Essas razões não dependem do tamanho do triângulo. Dois triângulos retângulos com um ângulo de 30° são semelhantes, então seus lados são proporcionais e cada razão dá o mesmo número nos dois. É isso que permite montar uma tabela de valores fixos para cada ângulo.
Três ângulos aparecem em quase toda questão, porque suas razões têm valores exatos simples. Em prova, eles costumam ser dados no enunciado — mas saber reconstruí-los economiza tempo.
| Razão | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| Seno | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| Cosseno | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| Tangente | √3/3 | 1 | √3 |
Um jeito de memorizar: na linha do seno, os numeradores seguem a ordem √1, √2, √3 (todos sobre 2) — e √1 é 1, por isso sen 30° = 1/2. O cosseno é a mesma linha de trás para frente. E a tangente é sempre seno ÷ cosseno: em 60°, (√3/2) ÷ (1/2) = √3.
Escolha um ângulo e uma razão para ver o valor exato, o decimal e o que ele significa no triângulo.
Ângulo
Razão
Chame a hipotenusa de a e os catetos de b (oposto a α) e c (adjacente a α). Então sen α = b/a e cos α = c/a. Somando os quadrados: sen² α + cos² α = (b² + c²) ÷ a². Pelo teorema de Pitágoras, b² + c² = a², e a conta dá sen² α + cos² α = 1 — a relação fundamental. Dividindo uma razão pela outra, (b/a) ÷ (c/a) = b/c, que é a tangente: tg α = sen α ÷ cos α.
Outra consequência: os dois ângulos agudos somam 90° (são complementares) e o cateto oposto a um é o adjacente ao outro. Por isso sen 30° = cos 60° e sen 60° = cos 30°. E, como a hipotenusa é o maior lado, seno e cosseno de um ângulo agudo ficam sempre entre 0 e 1.
O método é sempre igual: marque o ângulo conhecido, dê nome ao lado que você tem e ao lado que você quer, e escolha a razão que liga exatamente esses dois. Treine com as situações abaixo.
Situação 1 de 6 · acertos: 0 de 0
Sei o comprimento de uma rampa e o ângulo com o chão. Quero a altura que ela vence.
Achando um ângulo. Um triângulo retângulo tem catetos 5 cm e 5√3 cm. Qual é o ângulo oposto ao cateto de 5 cm? Com os dois catetos, use a tangente: tg α = 5 ÷ (5√3) = 1/√3. Racionalizando, 1/√3 = √3/3, que na tabela é a tangente de 30°. O outro ângulo agudo mede 90° − 30° = 60°.
Mais quatro situações, cada uma com a conta completa:
Rampa de 4 m inclinada 30°
Seno e cosseno de 30°
A rampa (4 m) é a hipotenusa. A altura é o cateto oposto ao ângulo de 30°: altura = 4 · sen 30° = 4 · 1/2 = 2 m.
O avanço no chão é o cateto adjacente: 4 · cos 30° = 4 · √3/2 = 2√3 ≈ 3,46 m.
Sombra de 20 m com o sol a 60°
Tangente de 60°
O sol está 60° acima do horizonte. A sombra (20 m) é o cateto adjacente a esse ângulo e a altura do prédio é o oposto.
tg 60° = altura ÷ 20 → altura = 20 · √3 ≈ 20 · 1,732 ≈ 34,6 m.
Escada de 6 m a 60° do chão
Confere com Pitágoras
Distância do pé até a parede (adjacente): 6 · cos 60° = 6 · 1/2 = 3 m.
Altura em que toca a parede (oposto): 6 · sen 60° = 6 · √3/2 = 3√3 ≈ 5,20 m.
Conferência pelo teorema de Pitágoras: 3² + (3√3)² = 9 + 27 = 36 = 6². Bateu.
50 m de linha a 45° do chão
Seno de 45°
Supondo a linha esticada e a mão rente ao chão, a linha é a hipotenusa: altura = 50 · sen 45° = 50 · √2/2 = 25√2 ≈ 35,4 m.
Com 45°, os dois catetos são iguais: a pipa também está a cerca de 35,4 m de distância na horizontal.
No ENEM, a trigonometria aparece em contexto: altura de prédio ou de árvore medida pela sombra, inclinação de rampa ou telhado, distância a um barco vista do alto de um farol, o teodolito do topógrafo. O enunciado normalmente fornece os valores de seno, cosseno e tangente — o que se cobra é montar o triângulo certo a partir do texto e escolher a razão que liga o que se tem ao que se quer.
45°: corte um quadrado de lado 1 pela diagonal. Sai um triângulo retângulo com dois ângulos de 45°, catetos 1 e 1 e, por Pitágoras, hipotenusa √2. Então sen 45° = 1/√2 = √2/2 e tg 45° = 1.
30° e 60°: corte um triângulo equilátero de lado 2 pela altura. A metade é um triângulo retângulo com hipotenusa 2, um cateto 1 (metade da base) e o outro, por Pitágoras, √(4 − 1) = √3. O ângulo oposto ao cateto 1 mede 30°; o oposto a √3, 60°. Daí sen 30° = 1/2, sen 60° = √3/2 e tg 60° = √3/1 = √3.
respondidas 0/5
Escolha uma resposta e veja na hora se acertou. É para aprender — sem pressão.
1. Um triângulo retângulo tem catetos 3 e 4 e hipotenusa 5. Qual é o seno do ângulo oposto ao cateto de medida 3?
Por quê: Seno é cateto oposto ÷ hipotenusa: 3/5. O 4/5 seria o cosseno desse ângulo, e 3/4, a tangente.
2. Um poste projeta uma sombra de 8 m quando o sol está a 45° do horizonte. Qual a altura do poste?
Por quê: tg 45° = 1, então altura ÷ 8 = 1 e a altura é 8 m. O 8√2 m é a distância do topo do poste à ponta da sombra, a hipotenusa.
3. Uma rampa de 12 m de comprimento forma 30° com o chão. Que altura ela vence?
Por quê: A rampa é a hipotenusa e a altura é o cateto oposto: 12 · sen 30° = 12 · 1/2 = 6 m. O 6√3 m é o avanço horizontal (cosseno).
4. Num triângulo retângulo, um ângulo agudo α tem sen α = 0,8. Quanto vale cos α?
Por quê: Pela relação sen² α + cos² α = 1: 0,64 + cos² α = 1, então cos² α = 0,36 e cos α = 0,6. Não é 1 − 0,8: a relação vale para os quadrados.
5. Um cabo de 10 m vai do topo de um mastro até o chão, formando 60° com o chão. A que distância da base do mastro o cabo está preso?
Por quê: A distância no chão é o cateto adjacente ao ângulo de 60°: 10 · cos 60° = 10 · 1/2 = 5 m. O 5√3 m é a altura do mastro (seno).
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